Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；

（2）令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，從而得到最大值為；

（2）求出函數(shù)，，則其導(dǎo)數(shù)小于等于在恒成立，進(jìn)而求出的取值范圍；

（3）方程有唯一實(shí)數(shù)解，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象特征，設(shè)為方程的唯一解，得到，把方程組轉(zhuǎn)化成，再利用導(dǎo)數(shù)研究該方程的根，最后根據(jù)根的唯一性，得到與的關(guān)系，再求出正數(shù)的值.

（1）依題意，知的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

令，解得.

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減.

所以的極大值為，此即為最大值.

（2），，則有，在上恒成立，所以，.

當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.

（3）因?yàn)榉匠?/span>有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，

設(shè)，則.

令，，

因?yàn)?/span>，，所以（舍去），，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，取最小值.

則，即，

所以，

因?yàn)?/span>，所以

設(shè)函數(shù)，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解，

又，所以方程的解為，即，解得.