Question

11．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足acosC=b-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若B=$\frac{π}{6}$，AC=4，求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式即可求出；
（Ⅱ）利用余弦定理即可求出．

解答 解：（Ⅰ）∵acosC=b-$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$c，
由正弦定理可得sinAcosC=sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴cosAsinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$，
（Ⅱ）由A=B=$\frac{π}{6}$，則C=$\frac{2π}{3}$，
∴BC=AC=4，AB=4$\sqrt{3}$，
∴AM=2，
由余弦定理可得AM²=BM²+AB²-2BM•ABcosB=4+48-16$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=28，
∴AM=2$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題．