Question

16．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，P為短軸的一個端點，△PF₁F₂的面積等于$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C上的任意兩點，O是坐標原點．
（�。┤鬹_OA•k_OB=-$\frac{1}{4}$，求證：x₁²+x₂²為定值．
（ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過點O，求△OAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列式，解得a²，b²的值，可得橢圓方程；
（Ⅱ）（ⅰ）設直線AB的方程，代入橢圓方程，由韋達定理及直線的斜率求得2m²=4k²+1，由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4；
（ⅱ）由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，求得m²=$\frac{4+4{k}^{2}}{5}$，利用點到直線的距離公式，弦長公式，利用基本不等式的性質(zhì)即可求得△OAB面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}•2c•b=\sqrt{3}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b³=1，c²=3．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）證明：（�。�點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C上的任意兩點，
則k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}=-\frac{1}{4}$，則x₁x₂+4y₁y₂=0．
當直線MN的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0．△＞0．
∴x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∴（1+4k²）x₁x₂+4km（x₁+x₂）+4m²=0，
∴4m²-4-$\frac{32{k}^{2}{m}^{2}}{1+4{k}^{2}}$+4m²=0，
化為2m²=4k²+1．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$-2×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$=4，為定值．
當直線AB的斜率不存在時，也適合．
綜上可得：x₁²+x₂²=4為定值．
（ⅱ）以AB為直徑的圓經(jīng)過點O，則$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
由（�。┛芍�$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+4k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{5{m}^{2}-4-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，即m²=$\frac{4+4{k}^{2}}{5}$，
∴原點O到直線AB的距離$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{\frac{4+4{k}^{2}}{5}}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
則原點O到直線AB的距離為定值$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
當直線AB的斜率不存在時，丨AB丨=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
當直線AB的斜率存在時，丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$$\sqrt{1+\frac{9{k}^{2}}{16{k}^{4}+8{k}^{2}+1}}$，
當k≠0時，丨AB丨=$\frac{4}{\sqrt{5}}$$\sqrt{1+\frac{9}{16{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+8}}$≤$\frac{4}{\sqrt{5}}$×$\sqrt{1+\frac{9}{2\sqrt{16{k}^{2}×\frac{1}{{k}^{2}}}+8}}$=$\sqrt{5}$，
當且僅當16k²=$\frac{1}{{k}^{2}}$，即k=±$\frac{1}{2}$時取等號．
當k=0時，丨AB丨=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
則丨AB丨的最大值為$\sqrt{5}$，
則△OAB面積S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\sqrt{5}$=1，
∴△OAB面積的最大值1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，弦長公式，基本不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．