Question

8．若$（1+{y^3}）{（x-\frac{1}{{{x^2}y}}）^n}（n∈{N_+}）$的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為-84．

Answer 1

分析 寫出二項(xiàng)式（x-$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)，要使$（1+{y^3}）{（x-\frac{1}{{{x^2}y}}）^n}（n∈{N_+}）$的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，再由x，y的指數(shù)為0求得n，r的值，則答案可求．

解答 解：（x-$\frac{1}{{x}^{2}y}$）ⁿ的展開式的通項(xiàng)為C_n^r（-1）^rx^n-3ry^-r，
要使$（1+{y^3}）{（x-\frac{1}{{{x^2}y}}）^n}（n∈{N_+}）$的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則$\left\{\begin{array}{l}{n-3r=0}\\{r=3}\end{array}\right.$，
解得r=3，n=9，
則常數(shù)項(xiàng)為：C₉³（-1）³=-$\frac{9!}{3!•6!}$=-84，
故答案為：-84

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，是基礎(chǔ)題．