Question

12．已知曲線C的方程為（x-3）²+（x-4）²=16，直線l₁：kx-y-k=0和l₂：x+2y+4=0，直線l₁與曲線C交于不相同的兩點P，Q．
（1）求k的范圍；
（2）若l₁與x軸的交點為A，設(shè)PQ中點M，l₁與l₂的交點為N，求證：|AN|•|AM|為定值．

Answer 1

分析 （1）圓心（3，4）到l₁的距離$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜4$，解出即可得出．
（2）直線l₁：kx-y-k=0恒過定點（1，0），所以點A的坐標(biāo)為（1，0），如圖所示：將l₁方程代入圓方程，
整理得（1+k）²x²-[6+2k（k+4）]•x+k²+8k+9=0．由韋達(dá)定理和中點的坐標(biāo)公式可得M坐標(biāo)．解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}}\right.$，可得N坐標(biāo)．再由兩點間的距離公式化簡得|AM|•|AN|．

解答 （1）解：圓心（3，4）到l₁的距離$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}＜4$，
即$\frac{{2{k^2}-8k+8}}{{1+{k^2}}}＜8$，解得$k＞0或k＜-\frac{4}{3}$．
（2）證明：直線l₁：kx-y-k=0恒過定點（1，0），
所以點A的坐標(biāo)為（1，0），如圖所示：將l₁方程代入圓方程，
整理得（1+k）²x²-[6+2k（k+4）]•x+k²+8k+9=0．
由韋達(dá)定理和中點的坐標(biāo)公式知：${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{3+k（{k+4}）}}{{1+{k^2}}}$，
因此，y_M=$\frac{4{k}^{2}+2k}{1+{k}^{2}}$．
解方程組$\left\{{\begin{array}{l}{kx-y-k=0}\\{x+2y+4=0}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{2k-4}{2k+1}}\\{y=\frac{-5k}{2k+1}}\end{array}}\right.$，即$N（{\frac{2k-4}{2k+1}，\frac{-5k}{2k+1}}）$．
再由兩點間的距離公式化簡得|AM|•|AN|=10．

點評 本題考查了直線與圓的方程、點到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．