Question

如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=8，BC=6，AB=2，E、F分別在BC、AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ） 當(dāng)BE=2，是否在折疊后的AD上存在一點(diǎn)P，且

AP

=λ

PD

，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由；
（Ⅱ） 設(shè)BE=x，問當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐A-CDF的體積有最大值？并求出這個(gè)最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（ I ）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF，在平面EFDC內(nèi)過點(diǎn)C作CM∥EF交DF于M，在平面ADF內(nèi)作直線MP∥AF交AD于點(diǎn)P，連接PC，證明平面ABEF∥平面PCM，即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）根據(jù)平面ABEF⊥平面EFDC，BE=x，可得AF=x （0＜x≤4），F(xiàn)D=6-x，代入V_A-CDF計(jì)算公式，再利用基本不等式求得V_A-CDF的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得CP∥平面ABEF，在平面EFDC內(nèi)過點(diǎn)C作CM∥EF交DF于M，在平面ADF內(nèi)作直線MP∥AF交AD于點(diǎn)P，連接PC，則
∵CM∥EF，EF?平面ABEF，CM?平面ABEF
∴CM∥平面ABEF…（4分）
∵PM∥AF，AF?平面ABEF，PM?平面ABEF
∴PM∥平面ABEF…（5分）
又∵CM∩PM=M
∴平面ABEF∥平面PCM…（6分）
又∵PC?平面PCM
∴PC∥平面ABEF，故點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)…（7分）
又∵FM=4，MD=2
∴λ=

AP

PD

=2…（8分）
（Ⅱ）因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，又AF⊥EF，
所以AF⊥平面EFDC…（10分）
由已知BE=x，所以AF=x（0＜x＜6），則FD=8-x．
∴VA-CDF=

1

3

•

1

2

•2•(8-x)•x…（12分）
故VA-CDF=

1

3

•

1

2

•2•(8-x)•x≤

1

3

(

8-x+x

2

)2=

16

3

當(dāng)且僅當(dāng)8-x=x，即x=4時(shí)，等號(hào)成立
所以，當(dāng)x=4時(shí)，V_A-CDF有最大值，最大值為

16

3

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，求三棱錐的體積，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．