Question

14．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₀=23，a₂₅=-22，
（Ⅰ）該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？最大和是多少？
（Ⅱ）求數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，從而求出a_n=-3n+53，由此能求出{a_n}前17項(xiàng)和最大，并能求出其最大值．
（2）當(dāng)n≤17，n∈N^*時(shí)，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n，當(dāng)n≥18，n∈N^*時(shí)，|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n=2（a₁+a₂+…+a₁₇）-（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884，由此能求出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=23}\\{{a}_{1}+24d=-22}\end{array}\right.$，解得a₁=50，d=-3，
∴a_n=a₁+（n-1）d=-3n+53，…（3分）
令a_n＞0，得n＜$\frac{53}{3}$，
∴當(dāng)n≤17，n∈N^*時(shí)，a_n＞0；當(dāng)n≥18，n∈N^*時(shí)，a_n＜0，
∴{a_n}前17項(xiàng)和最大．…（5分），
∴S_max=S₁₇=17×50+17×8×（-3）=442…．（6分）
（2）當(dāng)n≤17，n∈N^*時(shí)，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}d$=-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n，
∴當(dāng)n≤17，n∈N^*時(shí)，{|a_n|}前n項(xiàng)和為-$\frac{3}{2}$n²+$\frac{103}{2}$n，…．（9分）
當(dāng)n≥18，n∈N^*時(shí)，
|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₁₇-a₁₈-a₁₉-…-a_n=2（a₁+a₂+…+a₁₇）-
（a₁+a₂+…+a_n）=$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884，
當(dāng)n≥18，n∈N^*時(shí)，{|a_n|}前n項(xiàng)和為$\frac{3}{2}$n²-$\frac{103}{2}$n+884…..…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．