Question

如圖所示，我校計劃在漢東中學(xué)操場北修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個相同的噴水器．已知噴水器的噴水區(qū)域是半徑為5m的圓．問如何設(shè)計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意設(shè)花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界．依題意得：，（x＞0，y＞0），問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，的條件下，求S=xy的最大值即可．
解答：解：設(shè)花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應(yīng)在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應(yīng)恰好位于噴水區(qū)域的邊界．
依題意得：，（x＞0，y＞0）
問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，的條件下，求S=xy的最大值．
∵，
由和及x＞0，y＞0得：∴S_max=100
答：花壇的長為，寬為，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，則符合要求．
點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、基本不等式等，屬于基礎(chǔ)題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．