Question

如圖所示，我校計劃在漢東中學操場北修建一個矩形花壇并在花壇內(nèi)裝置兩個相同的噴水器．已知噴水器的噴水區(qū)域是半徑為5m的圓．問如何設計花壇的尺寸和兩個噴水器的位置，才能使花壇的面積最大且能全部噴到水？

Answer 1

分析：先根據(jù)題意設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應恰好位于噴水區(qū)域的邊界．依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0），問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值即可．

解答：解：設花壇的長、寬分別為xm，ym，根據(jù)要求，矩形花壇應在噴水區(qū)域內(nèi)，頂點應恰好位于噴水區(qū)域的邊界．
依題意得：(

x

4

)2+(

y

2

)2=25，（x＞0，y＞0）
問題轉(zhuǎn)化為在x＞0，y＞0，

x2

4

+y2=100的條件下，求S=xy的最大值．
∵S=xy=2•

x

2

•y≤(

x

2

)2+y2=100，
由

x

2

=y和

x2

4

+y2=100及x＞0，y＞0得：x=10

2

，y=5

2

∴S_max=100
答：花壇的長為10

2

m，寬為5

2

m，兩噴水器位于矩形分成的兩個正方形的中心，則符合要求．

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用、基本不等式等，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數(shù)學符號，建立數(shù)學模型；（3）利用數(shù)學的方法，得到數(shù)學結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學模型．