Question

19．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{3}$，則cosα=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得sin（（$\frac{π}{3}$+α）的值，再利用兩角差的余弦公式，求得cosα=cos[（$\frac{π}{3}$+α）-$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{π}{3}$+α仍然是銳角，
∴sin（（$\frac{π}{3}$+α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{π}{3}+α）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
則cosα=cos[（$\frac{π}{3}$+α）-$\frac{π}{3}$]=cos（$\frac{π}{3}$+α）cos$\frac{π}{3}$+sin（$\frac{π}{3}$+α）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的余弦公式的應用，屬于中檔題．