Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線垂直于y軸，數(shù)列{a_n}滿足．
①若a₁≥3，求證：a_n≥n+2（n∈N^*）；
②若a₁=4，試比較的大小，并說明你的理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）f （1）=a-b=0，可得a=b，代入f′（x），要使函數(shù)f （x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則?x∈（0，+∞）內(nèi)f′（x）=≥0，內(nèi)f′（x）=≤0恒成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可求a的范圍
（2）①由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，f′（1）=0，從而可求f′（x），結(jié)合已知，利用數(shù)學(xué)歸納法可證①
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①對(duì)k≥2都有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1，利用不等式的放縮可得a_k+1≥2（a_k-1+1）≥2²（a_k-2+1）≥2³（a_k-3+1）≥…≥2^k-1（a₁+1），結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可判斷
解答：解：（1）∵f （1）=a-b=0，
∴a=b，
∴f′（x）=．
要使函數(shù)f （x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則?x∈（0，+∞）內(nèi)f′（x）=≥0，
或f′（x）=≤0恒成立
∵
由f′（x）≥0得而
∴a≥1由f′（x）≤0得而
∴a≤0經(jīng)驗(yàn)證a=0及a=1均合題意，故a≤0或a≥1
∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1或a≤0． （5分）
（2）∵函數(shù)f （x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，
∴f′（1）=0，即a+a-2=0，解得a=1，
∴f′（x）=，
∴a_n+1=f′．（7分）
①用數(shù)學(xué)歸納法證明：（i）當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥3=1+2，不等式成立；
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k-k≥2＞0，
∴a_k+1=a_k （a_k-k）+1≥2 （k+2）+1=（k+3）+k+2＞k+3，
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥（k+1）+2．根據(jù)（i）和（ii），對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+2．  （10分）
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①對(duì)k≥2都有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
∴a_k+1≥2（a_k-1+1）≥2²（a_k-2+1）≥2³（a_k-3+1）≥…≥2^k-1（a₁+1）
而
于是當(dāng)k≥2時(shí)，
∴==（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)學(xué)命題的證明中的應(yīng)用及放縮法的應(yīng)用，具有一定的綜合性