Question

9．在平面直角坐標系xOy中，已知圓C₁：（x+3）²+y²=4和直線l：14x+8y-23=0．
（1）求圓C₁關(guān)于直線l對稱的圓C₂的方程；
（2）設(shè)P為平面上的點，且存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）求出C₁關(guān)于直線l對稱的C₂的坐標，即可求圓C₁關(guān)于直線l對稱的圓C₂的方程；
（2）設(shè)出過P點的直線l₁與l₂的點斜式方程，根據(jù)⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，可得⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，故我們可以得到一個關(guān)于直線斜率k的方程，即可以求所有滿足條件的點P的坐標．

解答 解：（1）設(shè)C₂（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+3}•（-\frac{7}{4}）=-1}\\{14×\frac{a-3}{2}+8×\frac{2}-23=0}\end{array}\right.$，
解得a=4，b=4，
∴圓C₂的方程：（x-4）²+（y-4）²=4；
（2）設(shè)點P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設(shè)直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長與直線l₂被圓C₂截得的弦長相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即$\frac{|-k（3+a）+b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|k（4-b）+4-a|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
整理得|-k（3+a）+b||=|k（4-b）+4-a|
∴-k（3+a）+b=±[k（4-b）+4-a]，
即k（-a+b-7）=a+b-4或（-a-b+1）k=-a+b+4
因k的取值有無窮多個，所以$\left\{\begin{array}{l}{-a+b-7=0}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-a-b+1=0}\\{-a+b+4=0}\end{array}\right.$
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=$\frac{11}{2}$或a=$\frac{5}{2}$，b=-$\frac{3}{2}$，
這樣的點只可能是點P₁（-$\frac{3}{2}$，$\frac{11}{2}$）或點P₂（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）

點評 本題考查圓的方程，考查點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，對稱的知識，注意方程無數(shù)解的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，常考題型，是中檔題．