Question

4．已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，a₂=3，且a₁、a₃、a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{2^{a_n}}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{2}{3}{a_n}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S₁₆．

Answer 1

分析 （I）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題${a_3}^2={a_1}{a_7}$，即${（{a_1}+2d）^2}={a_1}（{a_1}+6d）$，
又d≠0，∴a₁=2d，
又a₁+d=3，聯(lián)立解得a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）由題得${S_{16}}=（{2^{a_1}}+{2^{a_3}}+…+{2^{{a_{15}}}}）+\frac{2}{3}（{a_2}+{a_4}+…+{a_{16}}）$
=$\frac{{4（1-{4^8}）}}{1-4}+\frac{2}{3}×\frac{（3+17）8}{2}=\frac{1}{3}×{4^9}+52$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．