Question

3．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=$\sqrt{3}$，點(diǎn)E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱DC上移動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)時(shí)，求證：EF∥平面PAC
（2）求證：無(wú)論點(diǎn)F在DC的何處，都有PF⊥AE
（3）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）欲證EF∥平面PAC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證EF與平面PAC內(nèi)一直線平行，根據(jù)中位線定理可知EF∥PC，PC?平面PAC，EF?平面PAC，滿足定理所需條件；
（2）欲證PF⊥AE，而PF?平面PDC，可先證AE⊥平面PDC，根據(jù)CD⊥平面PAD，有線面垂直的性質(zhì)可知AE⊥CD，根據(jù)等腰三角形可知AE⊥PD，CD∩PD=D，滿足線面垂直的判定定理．
（3）過(guò)E坐EM⊥AD垂足為M，過(guò)M作MN⊥AC，垂足為N，連接EN．則∠MNE為二面角E-AC-D的平面角，在Rt△MNE中計(jì)算即可．

解答 解：（1）證明：當(dāng)點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)時(shí)，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為CD，PD的中點(diǎn)，∴EF∥PC．（3分）
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴AE⊥CD．
∵PA=AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD．又CD∩PD=D，∴AE⊥平面PDC．
∵PF?平面PDC，∴PF⊥AE．
（3）過(guò)E坐EM⊥AD垂足為M，過(guò)M作MN⊥AC，垂足為N，連接EN．
易證∠MNE為二面角E-AC-D的平面角．
△ACD的邊AC上的高為$\frac{1×\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴MN=，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵EM=$\frac{1}{2}$，EN=$\sqrt{M{N}^{2}+E{M}^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴cos∠MNE=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
所以二面角E-AC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面的判定，以及線面垂直的判定和性質(zhì)等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力和推理論證的能力，二面角等知識(shí)，屬于中檔題．