Question

3．已知圓C：（x+1）²+y²=4和圓外一點(diǎn)A（1，2$\sqrt{3}$）．
（1）若直線m經(jīng)過原點(diǎn)O，且圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1，求直線m的方程；
（2）若經(jīng)過A的直線l與圓C相切，求切線l的方程．

Answer 1

分析 （1）圓C的圓心為（-1，0），半徑r=2，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1，則圓心到直線m的距離恰為1，由于直線m經(jīng)過原點(diǎn)，圓心到直線m的距離最大值為1．所以滿足條件的直線就是經(jīng)過原點(diǎn)且垂直于OC的直線，故直線方程可求；
（2）先假設(shè)直線方程，再利用點(diǎn)線距離等于半徑求解，需注意斜率不存在時(shí)也成立．

解答 解：（1）圓C的圓心為（-1，0），半徑r=2，圓C上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線m的距離為1
則圓心到直線m的距離恰為1…（2分）
設(shè)直線方程為y=kx，d=$\frac{|-k-0|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=1，k無解…（3分）
直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0顯然成立，所以所求直線為x=0…（5分）
（2）設(shè)直線方程為y-2$\sqrt{3}$=k（x-1），d=$\frac{|-2k+2\sqrt{3}|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=2，k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所求直線為y-2$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），即$\sqrt{3}$x-3y+5$\sqrt{3}$=0…（6分）
斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1…（7分）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與圓軛位置關(guān)系，要充分利用圓的特殊性簡化解題．