已知橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點A（0，2），離心率為
2
2
，過點A的直線l與橢圓交于另一點M．
（I）求橢圓Γ的方程；
（II）是否存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓Γ的右焦點F且與直線 x-2y-2=0相切？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
（Ⅰ）依題意得
b=2
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
，解得
a=2
2
b=2
c=2
，
所以所求的橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1；
（Ⅱ）假設存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點F且與直線x-2y-2=0相切，
因為以AM為直徑的圓C過點F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又kAF=
2-0
0-2
=-1，所以直線MF的方程為y=x-2，
由
y=x-2
x2
8
+
y2
4
=1
消去y，得3x2-8x=0，解得x=0或x=
8
3
，
所以M（0，-2）或M（
8
3
，
2
3
），
（1）當M為（0，-2）時，以AM為直徑的圓C為：x2+y2=4，
則圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d=
|0-2×0-2|
12+(-2)2
=
2
5
5
≠
2
5
3
，
所以圓C與直線x-2y-2=0不相切；
（2）當M為（
8
3
，
2
3
）時，以AM為直徑的圓心C為（
4
3
，
4
3
），半徑為r=
1
2
|AM|=
1
2
(
8
3
)2+(
2
3
-2)2
=
2
5
3
，
所以圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d=
|
4
3
-
8
3
-2|
5
=
2
5
3
=r，
所以圓心C與直線x-2y-2=0相切，此時kAF=
2
3
-2
8
3
-0
=-
1
2
，所以直線l的方程為y=-
1
2
x+2，即x+2y-4=0，
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為x+2y-4=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），P為橢圓C上任意一點，且cos∠F1PF2的最小值為
1
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）動圓x2+y2=t2（
2
＜t＜
3
）與橢圓C相交于A、B、C、D四點，當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，(a＞b＞0)，直線（m+3）x+（1-2m）y-m-3=0（m∈R）恒過的定點F為橢圓的一個焦點，且橢圓上的點到焦點F的最大距離為3，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN為垂直于x軸的動弦，且M、N均在橢圓C上，定點T（4，0），直線MF與直線NT交于點S．求證：
    ①點S恒在橢圓C上；
    ②求△MST面積的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，離心率為
1
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左右焦點，橢圓上點P到F1與F2距離之和為4，
（1）求橢圓C1方程．
（2）若一動圓過F2且與直線x=-1相切，求動圓圓心軌跡C方程．
（3）在（2）軌跡C上有兩點M，N，橢圓C1上有兩點P，Q，滿足
MF2
與
NF2
共線，
PF2
與
QF2
共線，且
PF2
•
MF2
=0，求四邊形PMQN面積最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），長軸兩端點A、B，短軸上端頂點為M，點O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且
AF
•
FB
=1，|OF|=1．
（1）求橢圓方程；
（2）直線l交橢圓于P、Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
3
，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C1的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C1的方程；
（II）直線l1過橢圓C1的左焦點F1，且與x軸垂直，動直線l2垂直于直線l2，垂足為點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（III）設C2上的兩個不同點R、S滿足
OR
•
RS
=0，求|
OS
|的取值范圍（O為坐標原點）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案