分析 (I)分類討論,當(dāng)0<x≤2時,由|log2x|=1;當(dāng)2<x≤10時,由$sin\frac{πx}{4}=1$,即可求函數(shù)g(x)的零點;
(II)畫出函數(shù)f(x)的圖象,確定x1x2=1,x3+x4=12,2<x3<x4<10,由此可得則$\frac{{({{x_3}-1})({{x_4}-1})}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍.
解答 (本題滿分為12分)
解:(Ⅰ)當(dāng)0<x≤2時,由|log2x|=1解得x=2或$x=\frac{1}{2}$;
當(dāng)2<x≤10時,由$sin\frac{πx}{4}=1$解得x=10,
∴函數(shù)g(x)有3個零點,分別為x=2,$x=\frac{1}{2}或x=10$.…(4分)
(Ⅱ)設(shè)f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=a,由題意可知函數(shù)f(x)的圖象與直線y=a交于四個不同的點.
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象:
結(jié)合圖象,由題意可知,x3+x4=12;…(7分)
由|log2x1|=|log2x2|知,-log2x1=log2x2,即x1•x2=1.…(9分)
若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=a圖象始終有四個交點,則2<x3<4.…(10分)
故$\frac{{({{x_3}-1})({{x_4}-1})}}{{{x_1}•{x_2}}}=({{x_3}-1})({11-{x_3}})=-{({{x_3}-6})^2}+25$…(11分)
因2<x3<4,所以,$9<-{({{x_3}-6})^2}+25<21$.
所以,$\frac{{({{x_3}-1})({{x_4}-1})}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍為(9,21).…(12分)
點評 本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運用等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | $\frac{3}{8}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{5}{8}$ | D. | $\frac{3}{4}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | y=x2sinx | B. | y=x2cosx | C. | y=|lnx| | D. | y=3-x |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{10}{11}$ | B. | $\frac{5}{6}$ | C. | $\frac{5}{11}$ | D. | $\frac{7}{5}$ |
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