Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{{{log}_2}x}|，0＜x≤2\\ sin\frac{πx}{4}，2＜x≤10\end{array}$．
（I）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-1，求函數(shù)g（x）的零點；
（II）若函數(shù)f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且0＜x₁＜x₂＜x₃＜x₄≤10，求$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）分類討論，當(dāng)0＜x≤2時，由|log₂x|=1；當(dāng)2＜x≤10時，由$sin\frac{πx}{4}=1$，即可求函數(shù)g（x）的零點；
（II）畫出函數(shù)f（x）的圖象，確定x₁x₂=1，x₃+x₄=12，2＜x₃＜x₄＜10，由此可得則$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）當(dāng)0＜x≤2時，由|log₂x|=1解得x=2或$x=\frac{1}{2}$；
當(dāng)2＜x≤10時，由$sin\frac{πx}{4}=1$解得x=10，
∴函數(shù)g（x）有3個零點，分別為x=2，$x=\frac{1}{2}或x=10$．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，由題意可知函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a交于四個不同的點．
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象：

結(jié)合圖象，由題意可知，x₃+x₄=12；…（7分）
由|log₂x₁|=|log₂x₂|知，-log₂x₁=log₂x₂，即x₁•x₂=1．…（9分）
若函數(shù)f（x）的圖象與直線y=a圖象始終有四個交點，則2＜x₃＜4．…（10分）
故$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}=（{{x_3}-1}）（{11-{x_3}}）=-{（{{x_3}-6}）^2}+25$…（11分）
因2＜x₃＜4，所以，$9＜-{（{{x_3}-6}）^2}+25＜21$．
所以，$\frac{{（{{x_3}-1}）（{{x_4}-1}）}}{{{x_1}•{x_2}}}$的取值范圍為（9，21）．…（12分）

點評 本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．