Question

11．已知二次函數f（x）=ax²+（b+6）x-a+ab，且不等式f（x）＞0的解集為（-2，3）．
（1）求a，b的值；
（2）試問：c為何值時，不等式ax²+bx+c≤0的解集為R．

Answer 1

分析 （1）根據不等式與對應方程的關系，利用根與系數的關系，即可求出a、b的值；
（2）利用判別式△≤0，列出不等式即可求出c的取值范圍．

解答 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集為（-2，3），
∴-2，3是方程ax²+（b+6）x-a+ab=0的兩根，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2+3=-\frac{b+6}{a}}\\{-2×3=\frac{-a+ab}{a}}\end{array}\right.$，…3分
且a＜0；
解得a=-1，b=-5；…6分
（2）由題意可得，要使-x²-5x+c≤0的解集為R，
即x²+5x-c≥0對x∈R恒成立，
則只需△≤0，…9分
即25+4c≤0，
解得c≤-$\frac{25}{4}$；
∴當c≤-$\frac{25}{4}$時，不等式ax²+bx+c≤0的解集為R．…12分．

點評 本題考查了不等式與方程的應用問題，也考查了根與系數關系的應用問題，是基礎題目．