Question

16．函數(shù)y=x²+$\frac{3}{x}$（x＞0）的最小值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$$\root{3}{18}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\root{3}{18}$
• D． $\frac{2}{3}$$\root{3}{18}$

Answer 1

分析 為應用三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式可將原函數(shù)解析式變成$y={x}^{2}+\frac{3}{2x}+\frac{3}{2x}$，從而便可得出$y≥\frac{3}{2}\root{3}{18}$，并且可判斷能夠取到等號，這樣便可得出y的最小值．

解答 解：∵x＞0；
∴$y={x}^{2}+\frac{3}{x}$
=${x}^{2}+\frac{3}{2x}+\frac{3}{2x}$
$≥3\root{3}{{x}^{2}•\frac{3}{2x}•\frac{3}{2x}}$=$\frac{3}{2}\root{3}{18}$，當且僅當${x}^{2}=\frac{3}{2x}$，即$x=\frac{1}{2}\root{3}{12}$時取“=”；
∴y的最小值是$\frac{3}{2}\root{3}{18}$．
故選：A．

點評 考查應用三個正數(shù)的算術-幾何平均不等式求函數(shù)最小值的方法，清楚應用該不等式所具備的條件，并要判斷等號能否取到，清楚應用$a+b+c≥3\root{3}{abc}$求最小值時，需讓abc為定值．