Question

6．如圖，畫一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形，再將這個(gè)正三角形各邊的中點(diǎn)相連得到第二個(gè)正三角形，依此類推，一共畫了5個(gè)正三角形．那么這五個(gè)正三角形的面積之和等于（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． $\frac{21}{16}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{85}{64}$$\sqrt{3}$
• D． $\frac{341}{256}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 此五個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)a_n形成等比數(shù)列：2，1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出這五個(gè)正三角形的面積之和．

解答 解：此五個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)a_n形成等比數(shù)列：2，1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{8}$．
∴這五個(gè)正三角形的面積之和=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×$（{2}^{2}+{1}^{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+\frac{1}{{2}^{6}}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{4×（1-\frac{1}{{4}^{5}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{341}{256}\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與面積計(jì)算公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．