Question

5．如圖所示，等腰梯形ABCD的點C，D為半圓上的動點，CD∥AB，底邊AB為圓O的直徑，∠BOC=θ，OB=1．設等腰梯形ABCD的周長為y．
（Ⅰ）請寫出y與θ之間的函數(shù)關系；
（Ⅱ）當θ取何值時，等腰梯形ABCD的周長最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理和等腰梯形的性質即可求出；
（Ⅱ）利用二倍角公式化簡三角函數(shù)的解析式可得=$\frac{π}{3}$，y_max=5．

解答 解：（Ⅰ）在△OCB中，由余弦定理可得BC²=OB²+OC²-2OB•OCcosθ=2-cosθ，
∴BC=$\sqrt{2-2cosθ}$，
∵CD∥AB，
∴∠OCD=∠COB=θ
同理△OCD中，由余弦定理可得OD²=CD²+OC²-2CD•OCcosθ，θ
∴CD=2cosθ
∴y=2$\sqrt{2-cosθ}$+2cosθ+2，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得y=2$\sqrt{2-cosθ}$+2cosθ+2=2×2sin$\frac{θ}{2}$+2（1-2sin²$\frac{θ}{2}$）+2
=-4sin²$\frac{θ}{2}$+4sin$\frac{θ}{2}$+4，
=-4（sin$\frac{θ}{2}$-$\frac{1}{2}$）²+5，
當sin$\frac{θ}{2}$=$\frac{1}{2}$時，即θ=$\frac{π}{3}$，y_max=5．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求法和三角函數(shù)的化簡和求值，屬于中檔題．