Question

16．設$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$為單位向量，且$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夾角為$\frac{π}{3}$，若$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=$4\overrightarrow{e_2}$，
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$和$|{\overrightarrow a}|$；       
（2）求$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和向量模的公式計算即可．
（2）根據(jù)向量的夾角公式計算即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$為單位向量，且$\overrightarrow{e_1}$，$\overrightarrow{e_2}$的夾角為$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=|$\overrightarrow{e_1}$|•|$\overrightarrow{e_2}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow a$=$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow b$=$4\overrightarrow{e_2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=（$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$）•$4\overrightarrow{e_2}$=4$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$-8|$\overrightarrow{e_2}$|²=4×$\frac{1}{2}$-8=-6，
$|{\overrightarrow a}|$²=（$\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$）²=|$\overrightarrow{e_1}$|²+4|$\overrightarrow{e_2}$|²-4$\overrightarrow{e_1}$•$\overrightarrow{e_2}$=1+1×4-4×$\frac{1}{2}$=3，
∴$|{\overrightarrow a}|$=$\sqrt{3}$
（2）設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow b$|=|$4\overrightarrow{e_2}$|=4，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{-6}{\sqrt{3}•4}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0≤θ≤π
∴θ=-$\frac{5π}{6}$．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，解題時應根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式進行運算，即可得出正確的答案，是基礎題．