Question

【題目】關于函數(shù)，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.

①時，單調(diào)遞減且沒有最值；

②方程一定有解；

③如果方程有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；

④是偶函數(shù)且有最小值.

Answer 1

【答案】②④

【解析】

①將函數(shù)表示為分段函數(shù)，結(jié)合分式型函數(shù)的單調(diào)性進行判斷；②由函數(shù)是偶函數(shù)，在且時，判定函數(shù)與函數(shù)在時有唯一交點，同理得出，當且時，函數(shù)與函數(shù)在時有交點，從而可得方程有解；③求方程的解，即可判斷出命題③的正誤；④利用偶函數(shù)的定義判定函數(shù)為偶函數(shù)，再利用絕對值的性質(zhì)得出且，即可判斷出命題④的正誤.

對于命題①，當時，.

當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，，當時，，

當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，當時，函數(shù)不單調(diào)且沒有最值，命題①錯誤；

對于命題②，當時，，當時，，

當時，構(gòu)造函數(shù)，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當時，，當時，，

所以，函數(shù)在上有且只有一個零點，

即當時，方程在上有解.

函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，，則函數(shù)為偶函數(shù)，

同理可知，當時，方程在上有解.

所以，命題②正確；

對于命題③，當時，令，解得，則命題③錯誤；

對于命題④，由②可知，函數(shù)是偶函數(shù)，由絕對值的性質(zhì)可知且，則函數(shù)為偶函數(shù)且最小值為，命題④正確.

因此，正確命題的序號為②④.

故答案為：②④.