Question

5．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．
（1）求AC邊所在的直線方程；
（2）求AC邊上的高所在的直線方程；
（3）求經(jīng)過兩邊AB和BC中點(diǎn)的直線的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)截距式求解或求解出斜率，利用點(diǎn)斜式求解即可．
（2）根據(jù)高所在的直線方程的斜率與AC乘積為-1，利用點(diǎn)斜式求解即可．
（3）因?yàn)榻?jīng)過兩邊AB和BC中點(diǎn)的直線平行于AC，故可設(shè)所求直線方程，利用中點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．

解答 解：法一：（1）由A（4，0），C（0，3）．可得AC邊所在的直線方程是：$\frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1$
即3x+4y-12=0．
（2）由（1）可設(shè)AC邊上的高所在的直線方程為4x-3y+C=0
又∵AC邊上的高經(jīng)過點(diǎn)B（6，7），
∴4×6-3×7+C=0
解得：C=-3，
故AC邊上的高所在的直線方程是4x-3y-3=0
（3）∵經(jīng)過兩邊AB和BC中點(diǎn)的直線平行于AC，
∴可設(shè)所求直線方程為3x+4y+m=0．
由已知線段AB的中點(diǎn)為（5，$\frac{7}{2}$）
∴3×5+4×$\frac{7}{2}$+m=0．
解得：m=-29
故經(jīng)過兩邊AB和BC中點(diǎn)的直線方程為3x+4y-29=0．
法二：（1）由已知${k}_{AC}=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}$
又直線AC過C（0，3），
故所求直線方程為：y=$-\frac{3}{4}x+3$
即3x+4y-12=0．
（2）因?yàn)锳C邊上的高垂直于AC，（1）由已知${k}_{AC}=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}$
∴高所在的直線方程斜率為$\frac{4}{3}$
又AC邊上的高過點(diǎn)B（6，7），
故所求直線方程為y-7=$\frac{4}{3}$（x-6）
故AC邊上的高所在的直線方程是4x-3y-3=0
（3）因?yàn)榻?jīng)過兩邊AB和BC中點(diǎn)的直線平行于AC，
由（1）得${k}_{AC}=\frac{3-0}{0-4}=-\frac{3}{4}$
∴所求直線的斜率為$-\frac{3}{4}$．
由B（6，7），C（0，3），可得線段BC的中點(diǎn)為（3，5）
故所求直線方程為y-5=$-\frac{3}{4}$（x-3）
故經(jīng)過兩邊AB和BC中點(diǎn)的直線方程為3x+4y-29=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線方程的求法，利用了中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式，平行關(guān)系等，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．