Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N₊）均在函數(shù)y=3x+2的圖象上．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）設(shè)T_n是數(shù)列{$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和，求使${T_n}＜\frac{m}{20}$對(duì)所有n∈N₊都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)在直線上，推出S_n=3n²-2n，通過(guò)a_n=S_n-S_n-1，求出a_n=6n-5（n∈N₊）．利用等差數(shù)列的定義判斷{a_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．
（2）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），然后求和，利用不等式，求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）依題意，$\frac{Sn}{n}$=3n-2，即S_n=3n²-2n，…（1分）
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-[3（n-1）²-2（n-1）]
=6n-5．…（3分）
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1符合上式，…（4分）
所以a_n=6n-5（n∈N₊）．…（5分）
又∵a_n-a_n-1=6n-5-[6（n-1）-5]=6，
∴{a_n}是一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）知，
$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n+1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），…（8分）
故T_n=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{13}$）+…+（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）]=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$），…（10分）
因此使得$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{20}$（n∈N₊）成立的m必須且僅需滿足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{20}$，
即m≥10，故滿足要求的最小正整數(shù)m為10．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．