Question

10．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，0），直線L：x+2y-2=0交橢圓于A．B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為$M（1，\frac{1}{2}）$；
（1）求橢圓的方程；
（2）動點(diǎn)N滿足NA⊥NB，求動點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求橢圓的方程；
（2）動點(diǎn)N滿足NA⊥NB，動點(diǎn)N的軌跡是以M為圓心，AB為直徑的圓，即可求動點(diǎn)N的軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1，（m＞n＞0）$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{m}=-\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{n}$
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
∴m=4n，m=n+9     
∴m=12，n=3．
橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1，與x+2y-2=0$得y²-y-1=0，
則y₁y₂=-1，y₁+y₂=1
因NA⊥NB，∴動點(diǎn)N的軌跡是以M為圓心，AB為直徑的圓，
$|{AB}|=\sqrt{（1+{2^2}）{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=5$，${r^2}=\frac{25}{4}$，
故動點(diǎn)N的軌跡方程為${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程，考查圓的方程，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．