Question

已知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，函數(shù)在上有三個零點，且1是其中一個零點．

（1）求的值；

（2）求的取值范圍；

（3）試探究直線與函數(shù)的圖像交點個數(shù)的情況，并說明理由．

Answer 1

（1）0（2）（3）見解析

解析:

（1）解：∵，∴．

∵在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴當時，取到極小值，即．

∴．

（2）解：由（1）知，，

∵1是函數(shù)的一個零點，即，∴．

∵的兩個根分別為，．

∵在上是增函數(shù)，且函數(shù)在上有三個零點，

∴，即．∴．

故的取值范圍為．

（3）解：由（2）知，且．

要討論直線與函數(shù)圖像的交點個數(shù)情況，

即求方程組解的個數(shù)情況．

由，得．

即．

即．

∴或．

由方程，                     （*）

得．

∵，

若，即，解得．此時方程（*）無實數(shù)解．

若，即，解得．此時方程（*）有一個實數(shù)解．

若，即，解得．此時方程（*）有兩個實數(shù)解，分別為，．

且當時，，．

綜上所述，當時，直線與函數(shù)的圖像有一個交點．

當或時，直線與函數(shù)的圖像有二個交點．

當且時，直線與函數(shù)的圖像有三個交點．