Question

12．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+2y-5≥0\\ x-y+1≥0\\ x+y-5≤0\end{array}\right.$，則z=（x-1）²+（y+1）²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{53}{4}$
• B． 10
• C． $\frac{36}{5}$
• D． 17

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用x²+y²的幾何意義：動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到（1，-1）距離的平方，即可求最小值．

解答 解：設(shè)z=（x-1）²+（y+1）²，則z的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到（1，-1）距離的平方．
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由圖象可知點(diǎn)P到A點(diǎn)的距離最小，即A點(diǎn)到直線x+2y-5=0的距離最�。�
由點(diǎn)到直線的距離公式得d=$\frac{|1-2-5|}{\sqrt{5}}$=$\frac{6}{\sqrt{5}}$，
所以z=（x-1）²+（y+1）²的最小值為d²=$\frac{36}{5}$．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，以及簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決線性規(guī)劃內(nèi)容的基本方法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．