Question

7．已知圓F₁：（x+1）²+y²=16，定點F₂（1，0），A是圓F₁上的一動點，線段F₂A的垂直平分線交半徑F₁A于P點．
（Ⅰ）求P點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）四邊形EFGH的四個頂點都在曲線C上，且對角線EG，F(xiàn)H過原點O，若k_EG•k_FH=-$\frac{3}{4}$，求證：四邊形EFGH的面積為定值，并求出此定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用橢圓的定義，即可求P點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）不妨設(shè)點E、H位于x軸的上方，則直線EH的斜率存在，設(shè)EH的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，求出面積，即可證明結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：因為P在線段F₂A的中垂線上，所以|PF₂|=|PA|．（1分）
所以|PF₂|+|PF₁|=|PA|+|PF₁|=|AF₁|=4＞|F₁F₂|，（2分）
所以軌跡C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，且c=1，a=2，所以$b=\sqrt{3}$，（3分）
故軌跡C的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．（4分）
（Ⅱ）證明：不妨設(shè)點E、H位于x軸的上方，
則直線EH的斜率存在，設(shè)EH的方程為y=kx+m，E（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．（5分）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4{m^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$．①（6分）
由${k_{EG}}•{k_{FH}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，
得$\frac{{（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{{k^2}{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}}}{{{x_1}{x_2}}}=-\frac{3}{4}$．②（7分）
由①、②，得2m²-4k²-3=0．③（8分）
設(shè)原點到直線EH的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，（9分）$|{EH}|=\sqrt{1+{k^2}}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{1+{k^2}}\frac{{\sqrt{16（{12{k^2}-3{m^2}+9}）}}}{{3+4{k^2}}}$，（10分）${S_{四邊形EFGH}}=4{S_{△EOH}}=2|{EH}|•d=\frac{{8|m|\sqrt{12{k^2}-3{m^2}+9}}}{{3+4{k^2}}}$④（11分）
由③、④，得${S_{四邊形EFGH}}=4\sqrt{3}$，故四邊形EFGH的面積為定值，且定值為$4\sqrt{3}$．（12分）

點評 本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓位置關(guān)系的運用，考查面積的計算，屬于中檔題．