Question

5．平面直角坐標系xOy，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線l和圓C的極坐標方程；
（2）設直線l和圓C相交于A，B兩點，求弦AB與其所對的劣弧圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得直線l的普通方程．將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得極坐標方程．圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用cos²θ+sin²θ=1可得直角坐標方程，進而得到圓C的極坐標方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1}\end{array}\right.$，解得：A，B．再利用扇形與三角形的面積計算公式得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=\frac{2\sqrt{3}}{3}+t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t直線l的普通方程為$x+\sqrt{3}y$-2=0．
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：ρcosθ+$\sqrt{3}$ρsinθ-2=0．
化簡得直線l的方程為$ρcos（θ-\frac{π}{3}）$=1．
圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得直角坐標方程：x²+y²=4，可得圓C的極坐標方程為ρ=2．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρcos（θ-\frac{π}{3}）=1}\end{array}\right.$，解之得：A（2，0），B（2，$\frac{2π}{3}$）．
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$，∴S_扇形AOB=$\frac{1}{2}α•{r}^{2}$=$\frac{1}{2}×\frac{2π}{3}×{2}^{2}$=$\frac{4π}{3}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|OA||OB|sinα=$\sqrt{3}$．
∴S=S_扇形AOB-S_△AOB=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了直角坐標與極坐標的互化、參數(shù)方程化為普通方程、曲線的交點、扇形與三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．