Question

9．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，斜率為$\frac{1}{2}$的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（2，1）在直線l的上方，若∠APB=90°，且直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N，求線段MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a²=4b²，ab=4，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，直線的斜率公式求得k_PA+k_PB=0，則△PMN是等腰直角三角形，則MN=2x_P=4，即可求得線段MN的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則a²=4b²，
以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，則2×$\frac{1}{2}$×2a×b=8，則ab=4，
解得：a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程y=$\frac{1}{2}$x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：x²+2mx+2m²-4=0，
△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，解得：-2＜m＜2，
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
則k_PA=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，k_PB=$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
則 k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，
則（$\frac{1}{2}$x₁+m-1）（x₂-2）+（$\frac{1}{2}$x₂+m-1）（x₁-2），
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1），
=2m²-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）=0，
∴k_PA+k_PB=0，
由∠APB=90°，則k_PA=1，k_PB=-1，
則△PMN是等腰直角三角形，則MN=2x_P=4，
線段MN的長(zhǎng)度4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．