Question

20．（1）在△ABC中，AB=2，BC=$\frac{3}{2}$，∠ABC=120°，若△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是多少？
（2）已知四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點．若BD，AC所成的角為60°，且BD=AC=1．求EF的長度．

Answer 1

分析 （1）△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體，該組合體可看成圓錐CD中挖去一個小圓錐BD得到的．利用V_幾何體=V_大圓錐-V_小圓錐求解即可．
（2）取BC中點O，連接OE，OF，說明∠EOF即為AC與BD所成的角或其補角．推出∠EOF=60°或∠EOF=120°．然后求解即可．

解答 解：（1）如圖，△ABC繞BC旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體，該組合體可看成圓錐CD中挖去一個小圓錐BD得到的．

∵∠ABD=60°，AB=2，
∴AD=$\sqrt{3}$，BD=1．
∴V_幾何體=V_大圓錐-V_小圓錐
=$\frac{1}{3}$π•AD²•CD-$\frac{1}{3}$π•AD²•BD
=$\frac{1}{3}$π×（$\sqrt{3}$）²×（$\frac{3}{2}$+1-1）=$\frac{3}{2}$π．
（2）解：如圖，取BC中點O，連接OE，OF，
∵OE∥AC，OF∥BD，

∴∠EOF即為AC與BD所成的角或其補角．
而AC，BD所成的角為60°，
∴∠EOF=60°或∠EOF=120°．
當∠EOF=60°時，EF=OE=OF=$\frac{1}{2}$；
當∠EOF=120°時，取EF中點M，則OM⊥EF，
EF=2EM=2OE•cos 30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查空間幾何體的體積以及點、線、面的距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．