Question

6．（理科）已知數列{a_n}的前n項和S_n=n²-9n，第k項滿足5＜a_k＜8，則k的值為8．
（文科）在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，則$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

Answer 1

分析 （理科）數列{a_n}的前n項和S_n=n²-9n，可得a₁=S₁，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n．利用第k項滿足5＜a_k＜8，解得k．
（文科）由題意可得：$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×1×c×sin6{0}^{°}$，解得c，利用余弦定理可得a，即可得出．

解答 （理科）解：數列{a_n}的前n項和S_n=n²-9n，∴a₁=S₁=-8，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-9n-[（n-1）²-9（n-1）]=2n-10，n=1時也成立，∴a_n=2n-10．
∵第k項滿足5＜a_k＜8，∴5＜2k-10＜8，∴$\frac{15}{2}＜k＜$9，解得k=8．
（文科）解：由題意可得：$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×1×c×sin6{0}^{°}$，解得c=4，
∴a²=1+4²-2×1×4×cos60°=13，∴a=$\sqrt{13}$．
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{13}}{sin6{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．
故答案為：8，$\frac{2\sqrt{39}}{3}$．

點評 本題考查了三角形面積計算公式、余弦定理、數列遞推關系與通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．