Question

17．已知P（x₀，y₀）是拋物線y²=2px（p＞0）上的一點，過P點的切線方程的斜率可通過如下方式求得，在y²=2px兩邊同時對x求導，得2yy'=2p，則$y'=\frac{p}{y}$，所以過點P的切線的斜率$k=\frac{p}{y_0}$，試用上述方法求出雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$在$P（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$處的切線方程為（　�。�

• A． 2x-y=0
• B． $2x-y-\sqrt{2}=0$
• C． $2x-3y-\sqrt{2}=0$
• D． $x-y-\sqrt{2}=0$

Answer 1

分析 把雙曲線的解析式變形后，根據(jù)題中的例子，兩邊對x求導且解出y′，把P的坐標代入求出切線的斜率，然后根據(jù)切點P的坐標和求出的斜率，寫出切線方程即可．

解答 解：由雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$，得到y(tǒng)²=2x²-2，
根據(jù)題意，兩邊同時對x求導得：2yy′=4x，解得y′=$\frac{2x}{y}$，
由$P（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$，得到過P得切線的斜率k=2，
則所求的切線方程為：y-$\sqrt{2}$=2（x-$\sqrt{2}$），即2x-y-$\sqrt{2}$=0．
故選：B．

點評 此題考查了求導法則的運用，以及根據(jù)一點和斜率會寫出直線的方程．本題的類型是新定義題，此類題的作法是認真觀察題中的例題，利用類比的方法求出所求的切線方程．