9.若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值-$\frac{4}{3}$.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若方程f(x)=k有3個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)求出f′(x)=3ax2-b,利用當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值-$\frac{4}{3}$.列出方程組求解即可.
(2)求出函數(shù)的極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值,然后推出a的范圍即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(1)f′(x)=3ax2-b
由題意;$\left\{\begin{array}{l}{f′(2)=12a-b}\\{f(2)=8a-2b+4=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$,解得a=$\frac{1}{3}$,b=4,
∴所求的解析式為f(x)=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+4$.
(2)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2)
令f′(x)=0,得x=2或x=-2,
∴當(dāng)x<-2時(shí),f′(x)>0,當(dāng)-2<x<2時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0
因此,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值$\frac{28}{3}$,
當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值$-\frac{4}{3}$,
∴函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}{x}^{3}-4x+4$的圖象大致如圖.

由圖可知:$-\frac{4}{3}<k<\frac{28}{3}$.

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),考查分析問題解決問題的能力.

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(2)求ω;
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(Ⅱ)求g(x)=12f(x)-4x2-3x-3在$[{\frac{1}{2},2}]$上的最大值;
(Ⅲ)設(shè)h(x)=$\frac{m}{x}$+x•lnx,若對任意x1,x2∈$[{\frac{1}{2},2}]$,都有h(x1)≥g(x2).求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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