Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²-2x）e^-x（a∈R）．
（1）當(dāng)a≥0時(shí)，求f（x）的極值點(diǎn)；
（2）設(shè)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，求出a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)，解方程f′（x）=0，分析根兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，確定是否為極值點(diǎn)；（2）求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，探討a的不等式，從而求得a的取值范圍．

解答：解：（1）令f′（x）=e^-x[-ax²+2（a+1）x-2]=0（a≥0）
當(dāng)a=0時(shí)，解得：x=1
∵x＜1，f'（x）＜0；?x＞1，f'（x）＞0
∴x=1時(shí)，f（x）取得極小值；
當(dāng)a＞0時(shí)，x1=

a+1- a2+1

a

，x2=

a+1+ a2+1

a

易得：x1=

a+1- a2+1

a

＜

a+1+ a2+1

a

=x2，從而有下表

∴x=

a+1- a2+1

a

是函數(shù)的極小值點(diǎn)；x=

a+1+ a2+1

a

是函數(shù)的極大值點(diǎn)．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，由（1）可知，函數(shù)在[-1，1]上單減，符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)在[-1，1]上單增，則

a+1- 1+a2 a ≤-1 a+1+ 1+a2 a ≥1

解得：a∈?
若函數(shù)在[-1，1]上單減，則

a+1- a2+1

a

≥1；或

a+1+ a2+1

a

≤-1
解得：a∈?
當(dāng)a＜0時(shí)，x1=

a+1- a2+1

a

 ＞ 

a+1+ a2+1

a

=x2
若函數(shù)在[-1，1]上單增，則

a+1- a2+1

a

≤-1；或

a+1+ a2+1

a

≥1
解得：a∈?
若函數(shù)在[-1，1]上單減，則

a+1+ 1+a2 a ≤-1 a+1- 1+a2 a ≥1

 ?

- 4 3 ≤a＜0 a∈R

解得：a∈[-

4

3

，0)
綜合得：a∈[-

4

3

，0]時(shí)，函數(shù)在[-1，1]上是單減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性問題，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬中檔題．