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5.在函數(shù)y=lnx的圖象上取點(diǎn)Pn(n,ln n)(n∈N*),記線段PnPn+1的斜率為kn,求證:1k1+1k2+…+1knnn+22

分析 利用兩點(diǎn)的連線的斜率公式得出kn,再利用構(gòu)造輔助函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值,根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,即可證明不等式成立.

解答 解:證明:由題意可知線段PnPn+1的斜率為kn,kn=lnn+1lnnn+1n=ln(1+1n),
構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=lnx-2x1x+1(x≥1),
f′(x)=1x-2x+12x+1x+12=x12xx+12≥0,
∴f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,故f(x)的最小值是f(1)=0,
∴l(xiāng)nx>2x1x+1,
∴l(xiāng)n(1+1n)>21+1n11+1n+1=22n+1
1kn2n+12,
1k1+1k2+…+1kn123+2n+1n2)=nn+22,
因此:1k1+1k2+…+1knnn+22

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)與不等式及等差數(shù)列的綜合問(wèn)題的處理能力,解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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