分析 利用兩點(diǎn)的連線的斜率公式得出kn,再利用構(gòu)造輔助函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值,根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,即可證明不等式成立.
解答 解:證明:由題意可知線段PnPn+1的斜率為kn,kn=ln(n+1)−lnnn+1−n=ln(1+1n),
構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=lnx-2(x−1)x+1(x≥1),
f′(x)=1x-2(x+1)−2(x+1)(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0,
∴f(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增,故f(x)的最小值是f(1)=0,
∴l(xiāng)nx>2(x−1)x+1,
∴l(xiāng)n(1+1n)>2(1+1n−1)1+1n+1=22n+1,
∴1kn<2n+12,
1k1+1k2+…+1kn<12((3+2n+1)n2)=n(n+2)2,
因此:1k1+1k2+…+1kn<n(n+2)2.
點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)與不等式及等差數(shù)列的綜合問(wèn)題的處理能力,解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,屬于中檔題.
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A. | 1 | B. | 2 | C. | -1 | D. | -2 |
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A. | √2 | B. | 5 | C. | √10 | D. | 10 |
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A. | l | B. | 2 | C. | 2√3 | D. | 4√3 |
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A. | √33 | B. | √17 | C. | √41 | D. | √42 |
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