Question

5．在函數(shù)y=lnx的圖象上取點P_n（n，ln n）（n∈N^*），記線段P_nP_n+1的斜率為k_n，求證：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{n（n+2）}{2}$．

Answer 1

分析 利用兩點的連線的斜率公式得出k_n，再利用構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)的最小值，根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，即可證明不等式成立．

解答 解：證明：由題意可知線段P_nP_n+1的斜率為k_n，k_n=$\frac{ln（n+1）-lnn}{n+1-n}$=ln（1+$\frac{1}{n}$），
構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$（x≥1），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x+1）}{（x+1）^{2}}$=$\frac{（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≥0，
∴f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）的最小值是f（1）=0，
∴l(xiāng)nx＞$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
∴l(xiāng)n（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{2（1+\frac{1}{n}-1）}{1+\frac{1}{n}+1}$=$\frac{2}{2n+1}$，
∴$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{2n+1}{2}$，
$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$（$\frac{（3+2n+1）n}{2}$）=$\frac{n（n+2）}{2}$，
因此：$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{n（n+2）}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的綜合運用及運用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)與不等式及等差數(shù)列的綜合問題的處理能力，解題時注意轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．