Question

1．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸且兩坐標系中具有相同的長度單位，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{3}$ρsinθ=a（a＞-3）
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）若曲線C與直線l有唯一公共點，求實數a的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{3}$ρsinθ=a（a＞-3），把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入化為直角坐標方程．
（II）直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），消去參數t，化為普通方程．利用直線與圓相切的充要條件即可得出．

解答 解：（I）曲線C的極坐標方程為ρ²-2$\sqrt{3}$ρsinθ=a（a＞-3），
化為直角坐標方程：x²+y²-2$\sqrt{3}$y=a，配方為：x²+$（y-\sqrt{3}）^{2}$=3+a＞0．
（II）直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數），消去參數t，化為普通方程：$\sqrt{3}x$-y=0．
∵曲線C與直線l有唯一公共點，
∴圓心$（0，\sqrt{3}）$到直線l的距離d=$\frac{|0-\sqrt{3}|}{2}$=3+a，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-3．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數方程化為普通方程、直線與圓相切的充要條件、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．