Question

19．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n（n∈N^*）．
（1）試求a₁之值，并確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$，n∈N^*，試求{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）a₁≠0，2a_n-a₁=S₁•S_n（n∈N^*），∴$2{a}_{1}-{a}_{1}={a}_{1}^{2}$，解得a₁=1，
∴S_n=2a_n-1，
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）．
（2）b_n=$\frac{1}{（lo{g}_{2}{a}_{n+1}）•（lo{g}_{2}{a}_{n+2}）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴{b_n}前n項(xiàng)和T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．