Question

已知長方體AC₁中，AB=BC=4cm，AA₁=2cm，E，F(xiàn)分別為BB₁和A₁B₁的中點，求：
（1）EF與AD₁所成的角；
（2）AC₁與B₁C所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求直線間的夾角、距離,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）首先建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)直角坐標(biāo)系求出相應(yīng)的點的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式求出異面直線的夾角．
（2）根據(jù)（1）求出的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量的坐標(biāo)，同樣利用向量的夾角公式求出結(jié)果，假如求出的值為負(fù)值，要取絕對值．

解答： 解：（1）在長方體AC₁中，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
由于AB=BC=4cm，AA₁=2cm，E，F(xiàn)分別為BB₁和A₁B₁的中點，
則：A（4，0，0），D₁（0，0，2），E（4，4，1），F(xiàn)（4，2，2），C₁（0，4，2），B₁（4，4，2），C（0，4，0）
則：

AD1

=(-4，0，2)，

EF

=(0，-2，1)
cos＜

AD1

，

EF

＞=

AD1 • EF

| AD1 || EF |

=

1

5

所以：EF與AD₁所成的角arcos

1

5

．
（2）由（1）得：

AC1

=(-4，4，2)，

B1C

=(-4，0，-2)
則：cos＜

AC1

，

B1C

＞=

AC1 • B1C

| AC1 || B1C |

=

5

5

所以：AC₁與B₁C所成的角的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查的知識要點：空間直角坐標(biāo)系，向量的坐標(biāo)運算，向量的夾角，異面直線的夾角，向量的數(shù)量積，向量的模長及相關(guān)的運算問題．