已知橢圓和直線,若雙曲線N的一條漸近線為l1,其焦點(diǎn)與M的焦點(diǎn)相同.
(1)求雙曲線N的方程;
(2)設(shè)直線l2過點(diǎn)P(0,4),且與雙曲線N相交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)Q(Q與雙曲線N的頂點(diǎn)不重合),若,求直線l2的方程.

【答案】分析:(1)由題意,設(shè)雙曲線N的方程為:,根據(jù)橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同,可求雙曲線N的方程;
(2)由題意可知直線l2的斜率存在且不可能為0,設(shè)直線l2:x=m(y-4),與雙曲線方程聯(lián)立,消去x可得:(3m2-1)y2-24m2y+48m2-3=0,進(jìn)而可得②,③,根據(jù),可得(4m,-4)=λ1(x1-4m,y1)=λ2(x2-4m,y2),利用,即可求得直線l2的方程.
解答:解:(1)由題意,設(shè)雙曲線N的方程為:
∵橢圓的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0)
∴雙曲線N:的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0)
∴λ+3λ=4
∴λ=1
∴雙曲線N的方程為:
(2)由題意可知直線l2的斜率存在且不可能為0,設(shè)直線l2:x=m(y-4),A(x1,y1),B(x2,y2
∴Q(4m,0)
聯(lián)立方程,消去x可得:(3m2-1)y2-24m2y+48m2-3=0
∴3m2-1≠0,△=576m4-4(3m2-1)(48m2-3)>0①
②,
,
∴(4m,-4)=λ1(x1-4m,y1)=λ2(x2-4m,y2
∴-4=λ1y12y2


由②③④可得:且滿足①式
∴直線l2的方程為2x-y+4=0或2x+y-4=0
點(diǎn)評(píng):本題以橢圓方程為載體,考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是聯(lián)立方程,進(jìn)而利用向量知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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設(shè)F1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn).
(1)若橢圓C上的點(diǎn)A(1,
3
2
)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)K是(1)中所得橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段F1K的中點(diǎn)的軌跡方程;
(3)已知橢圓具有性質(zhì):若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在,并記為kPM、kPN時(shí),那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P位置無關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.

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已知橢圓和直線l:x+2y+m=0

(Ⅰ)當(dāng)m=4時(shí),若點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l距離的最大值;

(Ⅱ)當(dāng)m=-2時(shí),直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),求|AB|.

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(本小題共13分)

    已知橢圓和直線L:=1, 橢圓的離心率,直線L與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

(1)求橢圓的方程;

(2)已知定點(diǎn),若直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn),試判斷是否存在值,使以CD為直徑的圓過定點(diǎn)E?若存在求出這個(gè)值,若不存在說明理由。

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓和直線l:x+y+5=0,在直線l上任取一點(diǎn)P,作與已知橢圓具有相同的焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)P的橢圓,則所作橢圓中長(zhǎng)軸最短的橢圓的方程是      .

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