Question

1．某市擬定2016年城市建設(shè)A，B，C三項(xiàng)重點(diǎn)工程，該市一大型城建公司準(zhǔn)備參加這三個(gè)工程的競(jìng)標(biāo)，假設(shè)這三個(gè)工程競(jìng)標(biāo)成功與否相互獨(dú)立，該公司對(duì)A，B，C三項(xiàng)重點(diǎn)工程競(jìng)標(biāo)成功的概率分別為a，b，$\frac{1}{4}$（a＞b），已知三項(xiàng)工程都競(jìng)標(biāo)成功的概率為$\frac{1}{24}$，至少有一項(xiàng)工程競(jìng)標(biāo)成功的概率為$\frac{3}{4}$．
（1）求a與b的值；
（2）公司準(zhǔn)備對(duì)該公司參加A，B，C三個(gè)項(xiàng)目的競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，A項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)2萬(wàn)元，B項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)4萬(wàn)元，C項(xiàng)目競(jìng)標(biāo)成功獎(jiǎng)勵(lì)6萬(wàn)元，求競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和對(duì)立事件概率計(jì)算公式列出方程組，能求出a與b的值．
（2）由題意，令競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額為隨機(jī)變量X，則X的值可以為0，2，4，6，8，10，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
由a＞b，解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$．
（2）由題意，令競(jìng)標(biāo)團(tuán)隊(duì)獲得獎(jiǎng)勵(lì)金額為隨機(jī)變量X，則X的值可以為0，2，4，6，8，10，12，
P（X=0）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=4）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{1}{8}$，
P（X=6）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$=$\frac{5}{24}$，
P（X=8）=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{12}$，
P（X=10）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
P（X=12）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{24}$，
∴X的分布列為：

X	0	2	4	6	8	10	12
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{24}$

E（X）=$0×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}$+$6×\frac{5}{24}+8×\frac{1}{12}+10×\frac{1}{24}+12×\frac{1}{24}$=$\frac{23}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量分布列與期望等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、審讀能力、獲取數(shù)據(jù)信息的能力，以及方程思想與分類討論思想的應(yīng)用．