Question

2．已知函數f（x）=|2x-l|+|x-a|
（1）當a=2時，求f（x）≤3的解集
（2）當x∈[l，2]時，f（x）≤3恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意，當a=2時，f（x）=|2x-l|+|x-2|，即可得|2x-l|+|x-2|≤3，利用零點分段討論法可得|2x-l|+|x-2|≤3?$\left\{\begin{array}{l}{（1-2x）+（2-x）≤3}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（2-x）≤3}\\{\frac{1}{2}≤x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（x-2）≤3}\\{x≥2}\end{array}\right.$，解可得x的取值范圍，即可得答案；
（2）當x∈[1，2]時，f（x）≤3恒成立，分析可得2x-4≤a-x≤4-2x，即3x-4≤a≤4-x恒成立，結合3x-4的最大值與4-x的最小值分析可得a的值．

解答 解：（1）根據題意，當a=2時，f（x）=|2x-l|+|x-2|，
則f（x）≤3即|2x-l|+|x-2|≤3?$\left\{\begin{array}{l}{（1-2x）+（2-x）≤3}\\{x＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（2-x）≤3}\\{\frac{1}{2}≤x＜2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（2x-1）+（x-2）≤3}\\{x≥2}\end{array}\right.$，
解可得：0≤x≤2，即不等式的解集為[0，2]．
（2）當x∈[l，2]時，f（x）=|2x-l|+|x-a|=2x-1+|x-a|，
若f（x）≤3恒成立，即2x-1+|x-a|≤3恒成立，
則有|x-a|≤4-2x，
則有2x-4≤a-x≤4-2x，即3x-4≤a≤4-x恒成立，
又由x∈[l，2]，則3x-4的最大值為6-4=2，4-x的最小值為4-2=2，
即有a=2
故a的值為2．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了轉化以及分類討論的數學思想，屬于中檔題．