Question

12．已知$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$且sinα+cosα=$\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$，
（1）求cosα的值；
（2）若sin（α-β）=-$\frac{3}{5}，β∈（\frac{π}{2}，π）$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩邊平方，可得sinα的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解cosα的值；
（2）根據(jù)cosβ=cos[α-（α-β）]根據(jù)兩角和與差的公式打開，可求cosβ的值．

解答 解：（1）∵$α∈（{\frac{π}{2}，π}）$且sinα+cosα=$\frac{{1-\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinα+cosα=\frac{1-\sqrt{3}}{2}}\\{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α=1}\end{array}\right.$，
解得：sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵sin α=$\frac{1}{2}$，又$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴cosα=-$\sqrt{1{-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜$\frac{π}{2}$，
又sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，得cos（α-β）=$\frac{4}{5}$
cos β=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{5}$）=-$\frac{-4\sqrt{3}-3}{10}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式和構(gòu)造思想，構(gòu)造cosβ=cos[α-（α-β）]利用兩角和與差的公式打開求解是關(guān)鍵．屬于中檔題．