Question

7．已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（-x）且f（2-x）=f（x），當(dāng)x∈[0，1]時f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，若直線y=kx+k與函數(shù)y=f（x）圖象有三個公共點(diǎn)，則k的取值范圍是（$\frac{\sqrt{15}}{15}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的周期性，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用直線和圓相切的條件求出直線斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：由kx-y+k=0（k＞0）得y=k（x+1），（k＞0）
則直線過定點(diǎn)A（-1，0），
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=$\sqrt{2x-{x}^{2}}$，
即（x-1）²+y²=1，（y≥0），
對應(yīng)的根據(jù)為圓心在（1，0）的上半圓的$\frac{1}{4}$，
∵f（x）滿足f（2-x）=f（x），函數(shù)關(guān)于x=1對稱，
∴當(dāng)x∈[1，2）時，（x-1）²+y²=1，（y≥0），
∴當(dāng)x∈[2，4）時，（x-3）²+y²=1，（y≥0），此時圓心為（3，0），
當(dāng)直線和圓（x-1）²+y²=1，（y≥0）相切時此時有2個交點(diǎn)
此時圓心（1，0）到直線的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（舍）．
當(dāng)線和圓（x-3）²+y²=1，（y≥0）相切時此時有4個交點(diǎn)，
此時圓心（3，0）到直線的距離d=$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$或k=-$\frac{\sqrt{15}}{15}$（舍）．
若若直線kx-y+k=0（k＞0）與函數(shù)f（x）的圖象有且僅有三個不同交點(diǎn)，
則直線在AB和AC之間，
則$\frac{\sqrt{15}}{15}$＜k＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：（$\frac{\sqrt{15}}{15}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)與方程之間的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及直線和圓心相切的等價條件是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．