Question

橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，
（1）P為橢圓上的一點(diǎn)，已知

PF1

•

PF2

=0，求△F₁PF₂的面積；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在橢圓的一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M（8，0），求PM中點(diǎn)Q軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積為0，求出

PF1

⊥

PF2

，進(jìn)一步利用橢圓的定義求出三角形的面積．
（2）先把橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)式，利用中點(diǎn)坐標(biāo)求出關(guān)系，最后在轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)的形式．

解答： 解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知

PF1

•

PF2

=0，
所以：

PF1

⊥

PF2

根據(jù)橢圓的定義：

|PF1|

+|

PF2

|=10
兩邊平方得：|

PF1

|2+|

PF2

|2+2|

PF

||

PF

|=100
解得：2|

PF

||

PF

|=36
S△PF1F2=

1

2

|

PF

||

PF

|=9
（2）橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的參數(shù)方程為：

x=5cosθ y=3sinθ

(θ為參數(shù))
即P（5cosθ，3sinθ），M（8，0），
設(shè)Q（x，y）
則：

x= 5cosθ+8 2 y= 3sinθ 2

解得：

4(x-4)2

25

+

4y2

9

=1
所求的軌跡方程為：

4(x-4)2

25

+

4y2

9

=1

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：向量垂直的充要條件，三角形的面積，橢圓的定義，橢圓標(biāo)準(zhǔn)式與參數(shù)式得轉(zhuǎn)化，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用．