Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1，x=-

2

3

時，都取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）若對x∈[-1，2]，有f（x）＜

1

c

恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)極值點處的導(dǎo)數(shù)為零，列出關(guān)于a，b的方程組求解；
（2）只需f（x）在[-1，2]上的最大值小于c即可，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出f（x）在該區(qū)間上的最大值，構(gòu)造關(guān)于c的不等式．

解答： 解（1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b，因為x=1，x=-

2

3

是極值點，
所以

f′(1)=0 f′(- 2 3 )=0

，即

3+2a+b=0 4-4a+3b=0

，解得a=-

1

2

，b=-2．
（2）由（1）得f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，
所以f′(x)=3x2-x-2=3(x+

2

3

)(x-1)．令f′（x）=0得x=-

2

3

或x=1．
結(jié)合可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法可知，函數(shù)的最值必在區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為0或端點處取得．
因為f（-1）=c+

1

2

，f（-

2

3

）=c+

22

27

，f（1）=c-

3

2

，f（2）=c+2．
可見最大值為f（2）=c+2．由題意得c+2＜

1

c

．即

c2+2c-1

c

＜0，
即

c2+2c-1＜0 c＞0

或

c2+2c-1＞0 c＜0

．
解得c＜-1-

2

或0＜c＜

2

-1．
故c的范圍是c＜-1-

2

或0＜c＜

2

-1．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)求極值的基本思路，以及利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，解決不等式恒成立問題的思路．