Question

給出下列四個命題：
①若y=±

3

x是一個雙曲線的兩條漸近線，則這個雙曲線的離心率為2；
②設l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，則m⊥β；
③若P或q 為假命題，則p、q均為假命題；
④若f（x）=1-|x-1|（x＞0），則函數F（x）=xf（x）-1只有一個零點，
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數的性質及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程,簡易邏輯

分析：①，依題意，可求得個雙曲線的離心率為2或

2 3

3

，從而可判斷①的正誤；
②，不妨令m?β，顯然m不垂直于β，從而可判斷②的正誤；
③，利用真值表可判斷③的正誤；
④，通過對x分0＜x＜1與x≥1的情況的討論，可求得函數F（x）=xf（x）-1的零點，從而可判斷④的正誤．

解答： 解：①，∵y=±

3

x是一個雙曲線的兩條漸近線，
∴

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，
若

b

a

=

3

時，不妨令b=

3

，a=1，則c²=a²+b²=4，e=

c

a

=2；
若

a

b

=

3

，同理可得e=

2 3

3

故①錯誤；
②，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，若m?β，顯然m不垂直于β，故②錯誤；
③，若P或q為假命題，則p、q均為假命題，正確；
④，∵f（x）=1-|x-1|（x＞0），
∴當0＜x＜1時，f（x）=x，F(xiàn)（x）=xf（x）-1=x²-1∈（0，1），F(xiàn)（x）=x²-1無零點；
當x≥1時，f（x）=2-x，F(xiàn)（x）=xf（x）-1=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，當且僅當x=1時取等號，
∴當x≥1時，F(xiàn)（x）=xf（x）-1只有一個零點1，故④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合考查雙曲線的性質、函數的零點、復合命題的真假判斷及線面位置關系的應用，屬于中檔題．