Question

14．已知在${（{\root{3}{x}-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^n}$的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)．
（Ⅰ）求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅱ）求展開式中所有的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用通項(xiàng)公式求得展開式中含x²的項(xiàng)的系數(shù)．
（Ⅱ）求展開式中x的冪指數(shù)為整數(shù)，求得r的值，可得展開式中的有理項(xiàng)．

解答 解：（Ⅰ）由通項(xiàng)公式得${T_{r+1}}=C_n^r•{（{\root{3}{x}}）^{n-r}}•{（{-\frac{1}{{2\root{3}{x}}}}）^r}=C_n^r•{（{-\frac{1}{2}}）^r}•{x^{\frac{n-2r}{3}}}$，
因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以r=5時(shí)，有$\frac{n-2r}{3}=0$，解得n=10，
令$\frac{n-2r}{3}=2$，得$r=\frac{1}{2}（{n-6}）=2$，故所求含x²的項(xiàng)的系數(shù)為$C_{10}^2•{（{-\frac{1}{2}}）^2}=\frac{45}{4}$．
（Ⅱ）根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{10-2r}{3}∈Z\\ 0≤r≤10\\ r∈Z\end{array}\right.$，令$\frac{10-2r}{3}=k（{k∈Z}）$，則10-2r=3k，即$r=5-\frac{3k}{2}$，
因?yàn)閞∈Z，所以k應(yīng)為偶數(shù)，所以k可以取2，0，-2，即r可以取2，5，8，
所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)，第9項(xiàng)為有理數(shù)，
它們分別為$C_{10}^2•{（{-\frac{1}{2}}）^2}{x^2}$，$C_{10}^5{（{-\frac{1}{2}}）^5}$，$C_{10}^8{（{-\frac{1}{2}}）^8}{x^{-2}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．