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19.已知數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2=2,a3=2+2a1
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{2n1an}的前n項和.

分析 (1)設(shè)公比q,q>0,由題意可知q2-q-2=0,即可求得q的值,利用等比數(shù)列的前n項和公式,即可求得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)由(1)可知:2n1an=2n12n1,利用“錯位相減法”即可求得數(shù)列{2n1an}的前n項和.

解答 解:(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q,q>0由a2=2,a3=2+2a1.則q2-q-2=0,
解得q=2,則a1=1,
∴數(shù)列{an}的通項公式an=2n-1;
(2)由2n1an=2n12n1
數(shù)列{2n1an}的前n項和Sn,則Sn=1+321+522+…+2n32n2+2n12n1,
12Sn=12+322+523+…+2n32n1+2n12n
兩式相減得:12Sn=1+2(12+122+…+12n1)-2n12n,
則Sn=2+2+22+222+…+22n2-2n12n1
=2+2×112n1112-2n12n1=6-2n+32n1
數(shù)列{2n1an}的前n項和為6-2n+32n1

點評 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式,考查“錯位相減法”求數(shù)列的前n項和,考查計算能力,屬于中檔題.

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